行测数量关系中的三者容斥,行测容斥极值问题公式

近年来行测考试中，三者容斥问题的考查逐渐增多，其公式相对复杂，涉及到的量较多，所以大家可能会觉得题目条件繁琐，无从下手。其实关于三者容斥问题，只要准确识别题型，利用三者容斥的公式，还是可以轻松解题的，下面跟着中公教育一起学习吧。

公式学习

关于三者容斥问题，就是研究三个集合之间交叉关系的问题，我们可以通过一张图片来理解一下：将集合A、B、C不同的区域标上序号，则A=① ④ ⑤ ⑦，B=② ④ ⑥ ⑦，C=③ ⑤ ⑥ ⑦，A∩B=④ ⑦，B∩C=⑥ ⑦，A∩C=⑤ ⑦，I为全部元素，M为不属于集合A、B、C中的元素。

观察图片可知，I就是全部的元素数，如果求I的元素数，直接用A B C，则不同集合相交的部分，被重复计数，因此需要减掉，A∩B在A和B中各加一次，B∩C在B和C中各加一次，A∩C在A和C中各加一次，需要减去;A∩B∩C在A B C中被加了三次，而在减去A∩B、B∩C、A∩C又被各减了一次，因此需要再加回来一次;M还未计算，需要加上。

故三者容斥的基本公式为：I=A B C-A∩B-B∩C-A∩C A∩B∩C M

若我们将④⑤⑥看成一个整体给出，这些区域的元素都只被计算两次，需要减去1次，而⑦被计算了3次，需要减去两次，则公式可变形为：

I=A B C-只属于两个集合的元素-2×属于三个集合的元素 M。

学习完关于三者容斥问题的公式，下面我们通过两道例题来了解一下这两个公式如何运用。

某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人。问三门课程均未选的有多少人?

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B。中公解析：观察题干条件，可以看出，题目中分别给出了选择甲、乙、丙课程，兼选甲乙、甲丙、乙丙课程，以及同时选择三门课程的人数，所求为三门课程均未选择，条件恰好对应我们上面学到的关于三者容斥问题的基本公式，那么可以将上述例题中的条件，分别与公式中的字母一一对应，可以得到如下等式：50=40 36 30-28-26-24 20 M，可以解得M=2，因此三门课程都没有选择的人数为2人，答案选择B。

某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有22人，参加物理竞赛的有27人，参加化学竞赛的有25人，只参加两科竞赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人?

A.2 B.3 C.5 D.7

【答案】C。中公解析：首先确定是三者容斥问题，题目中给出只参加两科竞赛人数，可使用变形公式，假设参加三课竞赛的人数为x，题干中的40人是参加学科竞赛的人数，所以未参加竞赛人数是0，因此M为0，将数据代入公式可得：40=22 27 25-24-2x，解得x=5，即参加三科竞赛的人数为5人。

以上两个公式就是解决三者容斥问题所涉及到的基本公式，二者的原理是相同的，即去掉计数中重复计算的部分，加上未计算的部分，以做到不重不漏，在遇到关于容斥问题的时候，大家一定要看清楚题干给出了哪些数据，从而选择合适的公式解题。

三者容斥问题3个公式是什么？

三集合容斥问题的核心公式如下：

标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

扩展资料：

1、 等式右边改造 = {[（A+B - A∩B）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C

2、维恩图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C

3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。

4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，

减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。

参考资料来源：百度百科-容斥原理

三者容斥问题3个公式是什么？

三者容斥问题3个公式如下：

标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

在计数时：

必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。