梯度与偏导数,图解梯度与方向导数

偏导数和梯度是数学中的重要概念，贯穿于许多自然学科，本篇就用形象的图形来解释它们的原理。

图中是有X Y 变量 和有X Y变量组成的函数Z=f（X,Y）图形

我们保持X值不变，仅改变Y值得情况下​如图

Z值仅随Y值在变化，所以Z的变化量除以Y​的变换量就是该线的斜率

将X换个固定值，同样Z的变化量除以Y的变换量就是该线的斜率，只是斜率的大小不一样

Z的增量除以Y的增量，我们称之为Z对Y的偏导数

同理，我们保持Y值不变，Z值仅随X值改变，Z的增量除以X的增量，我们称之为Z对X的偏导数

我们用一个箭头来表示​斜率的正负，箭头表示斜率的大小

斜率不同箭头方向不同​

每个点都有一个箭头来表示Z对X的偏导数​

每个点都有一个箭头来表示Z对X的偏导数​

我们将这两个箭头向量相加，就得到一个新向量，称之为Z的梯度

Z的梯度向量总是指向Z函数增长最大的地方​

所以可以得出梯度是Z=f（X,Y）某一点的含有方向的导数，这个方向导数乘以该点的单位向量，就得到一个准确数值，这个数值就是该点在这个方向上的变换率。

偏导数和梯度是数学和许多物理学科非常重要的概念。

如何直观形象的理解方向导数与梯度以及它们之间的关系

简单的理解，在三维坐标系中，三个坐标轴都有方向导数，是分别对x,y,z的偏导数f/x,f/y,f/z，而梯度，则是一个向量，是对三个坐标轴偏导数构成的向量，即梯度=(f/x,f/y,f/z)。

大一高数中的梯度和方向导数应该如何理解

但，在(x0.y0)点出发的方向由无穷多个，那这时函数变化快慢就由方向导数来反映。
假如在所在的屋顶是一个曲面，你所在的地面就是定义域，你站在一点，头上对应屋顶一点，当你要从这点离开时，屋顶的高度是变大还是变小，变化的程度怎样?这就是方向导数反映的。
梯度的方向是一个特定的方向，你往这个方向走屋顶就向最陡峭的方向，梯度的模反映陡峭到什么程度。
一元函数在一点的导数是反映函数在这点变化趋势快慢的量，并且导数值是反映自变量由小变大时，函数值的增大趋势。自变量由大到小变化时，函数值的增大趋势是由负的导数值描述，这点很重要。
二元函数的偏导数，本质上就是一元函数z=f(x,y0)的导数，反映曲面上的一条平面曲线：
z=f(x,y)，y=y0,在点(x0.y0)这点沿着x由小到大的方向变化时，z=f(x,y0)的变化快慢。
显然，对二元函数而言，两个偏导数，只是反映了在点(x0.y0)沿着坐标轴方向上，函数变化快慢，坐标轴的反向变化情况，是由负的偏导数反映。
紧接着的问题是，沿着任意方向的方向导数都存在，偏导数不一定存在。因为偏导数存在要求沿着坐标轴正向的与反向的方向导数必须是绝对值相等符号相反才成。