方向导数定义法和公式法,方向导数定义推导

谁能用简单的语言说下高数里的 方向导数和梯度

方向导数
1.设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，对于给定的自点P0出发的射线l，在射线上任取一点P(x0+Δx,y0+Δy)，点P0到P的距离记为ρ，如果函数f沿射线l的改变量与ρ的比值limρ→0的极限存在，把此极限称为函数f在点(x0,y0)沿方向l的方向导数。记作f/l|(x0,y0)或z/l|(x0,y0)。
2.三元函数u=f(x,y,z)的方向导数的定义与二元函数类似。
定理1. 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)处可微，则函数f在该点处沿任一方向l的方向导数存在，且有f/l=f/x*cosα+f/y*cosβ，其中α，β是方向l的方向角。
定理2. 如果函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微，则函数f在该点处沿任一方向l的方向导数存在，且有f/l=f/x*cosα+f/y*cosβ+f/z*cosγ，其中α，β，γ是方向l的方向角。
梯度：引入单位向量l°=cosαi+cosβj+cosγk 及 向量G=u/xi+u/yj+u/zk，根据数量积的定义，u/l=G·l°，可见向量G就是函数f变化率最大的方向向量 u/xi+u/yj+u/zk，称为函数f在点P(x,y,z)处的梯度，记为grad u或f。
梯度的模为 |grad u|=[(u/x)^2+(u/y)^2+(u/z)^2]^0.5
“梯度是单位方向导数”不正确。

方向导数存在的定理

个人觉得，全微分存在是必要条件，偏导数存在且连续是充分条件。书上证明的最后一步，我觉得没有偏导数连续的前提无法推导，若连续，则可以用极限与无穷小的那个等式证明，如同证明全微分存在的充分条件。