向量的基础知识点,向量运算

向量的知识

向量定义： 向量是一条有方向的线段(有长度和确定方向的线段)。 图形化的向量，表示成一定长度的有向线段。

具有起始点A和结束点B的向量，记为AB。向量也可以用一个小写字母，例如a表示。

向量的长度： 有向线段的长度决定了向量的数值，称为向量AB的长度。

向量AB的长度记为:|AB|。

共线向量： 平行于一条直线或落在一条直线上的向量称为共线向量

共面向量：平行于同一平面的向量，或位于同一平面上的向量称为共面向量。

向量相等： 向量a和b是相等的如果它们在同一条或平行线上，它们的方向相同长度相等。

单位向量： 单位向量或向量角是长度等于1的向量。

平面问题的向量坐标公式

在平面问题中，向量AB由点A(Ax; Ay) 和B(Bx; By) 可以用下面的公式确定：

AB = {Bx - Ax ; By - Ay}

空间问题的向量坐标公式

在空间问题中，向量AB由点A(Ax; Ay; Az)和B(Bx; By; Bz)可以用下列公式确定：

AB = {Bx - Ax ; By - Ay ; Bz - Az}

二维向量的向量长度公式

在平面问题中，向量a的长度= {ax; ay}可以用下面的公式计算：

三维向量的向量长度公式

在空间问题中，向量a的长度= {ax; ay; az}可用以下公式计算:

二维矢量的方向余弦公式

在平面问题中，向量a的方向余弦= {ax; ay}可以用下面的公式确定：

在空间问题中，向量a的方向余弦= {ax ; ay ; az}可以用下面的公式确定：

平面问题的向量加减公式

在平面问题中，向量a = {ax; ay}和b = {bx; by}的和或差可 通过下面的公式确定:

在空间问题中，向量a ={ax ; ay ; az}和b = {bx ; by ; bz}的和或差可通过下面的公式确定:

a b = {ax bx; ay by; az bz}

a - b = {ax - bx; ay - by; az - bz}

向量a和b的点积几何解释： 两个向量a和b的点积是一个标量，等于向量的大小之积乘以向量夹角的余弦值。

平面问题的点积公式

在平面问题中向量a = {ax; ay }和b = {bx; by}通过下面的公式确定:

空间问题的点积公式

在空间问题中向量a = {ax ; ay ; az}和b ={bx ; by ; bz}通过下面的公式确定:

此外向量还有一个叉积的运算，请参见向量叉积的定义和应用。

高中数学向量知识点

　　在数学中，向量指具有大小(magnitude)和方向的量。下面是我为你整理的高中数学向量知识点，一起来看看吧。

　　高中数学向量知识点：基础知识
　　高中数学向量知识点：坐标表示 　　高中数学向量知识点：公式

　　向量共线的重要条件

　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

　　a//b的重要条件是 xy-xy=0。

　　零向量0平行于任何向量。

　　[编辑本段]向量垂直的充要条件

　　a⊥b的充要条件是 a•b=0。

　　a⊥b的充要条件是 xx+yy=0。

　　零向量0垂直于任何向量.

　　设a=(x，y)，b=(x，y)。

　　1、向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

　　AB+BC=AC。

　　a+b=(x+x，y+y)。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的运算律：

　　交换律：a+b=b+a;

　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

　　2、向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

　　AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”

　　a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).

　　4、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

　　当λ>0时，λa与a同方向;

　　当λ<0时，λa与a反方向;

　　当λ=0时，λa=0，方向任意。

　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

　　当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

　　当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

　　数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

　　向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

　　数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　　3、向量的的数量积

　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

　　定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

　　向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x+y•y。

　　向量的数量积的运算律

　　a•b=b•a(交换律);

　　(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);

　　(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);

　　向量的数量积的性质

　　a•a=|a|的平方。

　　a⊥b 〈=〉a•b=0。

　　|a•b|≤|a|•|b|。

　　向量的数量积与实数运算的主要不同点

　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。

　　3、|a•b|≠|a|•|b|

　　4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

　　4、向量的向量积

　　定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

　　向量的向量积性质：

　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

　　a×a=0。

　　a‖b〈=〉a×b=0。

　　向量的向量积运算律

　　a×b=-b×a;

　　(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

　　(a+b)×c=a×c+b×c.

001【数学篇】向量基础知识

先说物理学上对vector的定义：

也就是说vector在描述事物的时候，不仅指明了事物在观测时间的状态，还指明了状态的发展方向，即：趋势

要搞清楚vector，就必须先说明标量scalars，scalars相比于vector，只描述了事物的状态，并未指明以后的发向

这里我们拿 1级的鲁班 来举个栗子，我们假设1级的鲁班，刚出生时的智商是-1，战力是2，那么用scalar描述鲁班，是这个样子的：

而用vector描述鲁班，却是这个样子的：

看到区别了吗？vector不仅描述了大小，还说明了方向。

这里要说明的是：

最后要说的是，在计算机领域对1级鲁班的描述，应该是酱紫滴：

什么是加法呢？

举个栗子，七哥过年回家可以选择这样的路线：c=「广州-武汉」，然后再转车w=「武汉-当阳」，而产生的位移量与z=「广州-当阳」相等，也就是说，向量c+w=z

所以，向量相加代表的意义是什么呢？

另外向量的加法满足交换律，这个不多描述。

加法运算逻辑

这里我们还是拿鲁班来举例，很明显我们知道，「智商」+「战力」是不可行的，因为这俩都不是一个单位，没法搞。但是「鲁班」可以跟「电玩小子」相加吗？必须滴……这是大家都知道的事儿

比如1级鲁班：

电玩皮肤：

那么穿戴电玩皮肤的1级鲁班的向量组合(Linear Combination)就是：

我们用2维坐标轴表示，应该就是这样的：

正好是平等四边形的对角线

几种基础加法运算

最后，上述例子主要是基于2维空间进行表述，同样的做法可以推广至3维，甚至N维空间……这个就需要自行脑补了

乘法的逻辑主要体现在线性变换中，例如：图片缩小/放大、拉伸、翻转等，后续如有空会专门写文章重点说明，这里大概举个例子说明下计算过程

两者相乘的结果就是：

大致意思就是， 向量经由 的线性变换之后，映射到新的向量……

两个向量的点积(dot product或者inner product)为：

举例来说，假设有向量: 及 ，则其点积为：4*(-1)+2*2=0

点积在几何上，反映的就是两个向量的夹角 ，而且：

长度

长度比较简单，

直观的几何意义，就是这个箭头的长度

单位向量

这是一个很重要的概念，很多场景下为了方便计算，都会将向量单位化为长度为1，然后再进行各种计算。

其数学表达式为：

最后补上两条重要的不等式作为收尾。

Schwarz不等式：

三角形不等式：