什么是矩阵的秩序,矩阵秩的定义是什么

什么是矩阵的秩？

前面我们介绍了矩阵的基本概念，请参见矩阵的基本知识。 也讲了高斯消元法解线性方程组，请参考用高斯消元法解决线性系统问题。

本文谈谈矩阵秩的概念，先看一个例题：解下列线性方程组的解，

我们按高斯消元法，首先列出增广矩阵：

第2行减去第1行的两倍，第3行减去第1行得到：

现在第三行减去第二行(注意只能先消去下面的行)，然后把第二行乘以1/3（第二行的操作不能让别的行对其运算，否则再乘以1/3没有意义）:

这是行阶梯形，我们通过把第二行加到第一行来把它化简（只能从下往上运算）：

相应的简化方程组为：

首非零元为1在第1列和第3列，所以对应的变量和被称为首变量（主要的变量），因为矩阵是行最简阶梯形，所以这些方程可以用系数非1变量和来解首变量，即把,看成自由变量。更准确地说,在这个例子中，我们设 = s和 = t，其中s和t是任意的，所以这些方程变成

最后方程组的解用参数s, t表示变成：

由于s, t是任意数，所以这个方程组有无穷解，上述过程中我们用了反代方法，即把x4当做已知的参数t, 然后带入第三个方程，依次类推，得出每个变量，这种方法叫反代法。

那么问题是什么时候方程组有唯一解，什么时候方程组有无数解，什么时候方程无解？这就要引出秩（rank）的概念。

秩的定义：矩阵A的秩是任意矩阵A经过行变换化成阶梯矩阵后，行的首元为1的个数。

例题：求矩阵A的秩。

解：按照高斯消元法，将矩阵A化为行的阶梯矩阵有，

因为行的阶梯矩阵首元为1共有两个，所以r=2.

假设矩阵A是mxn矩阵， 即有m行和n列。那么r≤m是因为首元1位于不同的行中，同理r≤n，是因为首元1位于不同的列中。此外, 秩对判断方程组的解有很好的应用。

下面给出方程组解的判定。

定理：假设一个包含n个变量的m个方程的所构成的方程组是有解的，并且其增广矩阵的秩是r， 那么：

1.解的集合恰好包含n - r个参数。

2.如果r

3.如果r = n，方程组有唯一解。

证明：增广矩阵的秩是r的事实意味着正好有r个主变量（系数为1的变量），因此正好有n - r个非主变量。这些非主元变量都作为参数赋值，所以解的集合恰好包含n - r个参数。因此，如果r

这个定理有三个含义：

1. 没有解的情况。当一行出现［ 0 0··· 0 1 ］以行梯队形式出现时，就会发生这种情况。这是方程组无解的情况。

2. 唯一的解。当每个变量都是主元变量时，就会发生这种情况。

3.无穷多的解。当系统是一致的并且至少有一个非主元变量时，就会发生这种情况，因此至少有一个参数。

最后再看一个例子，解方程组：

解：增广矩阵经过初级行变换为：

这样意味着方程组变换为：

这是一个与原方程组等效的方程组，但最后一个意味着0x 0y 0z = −3, 所以无解。

总结：若解一个线性方程组有下列步骤,

什么是矩阵的秩

第一个角度，也就是书本上的定义，矩阵中的任意一个r阶子式不为0，且任意的r+1阶子式为0，则阶数r就叫作该矩阵的秩。

对一个矩阵，存在某个r阶行列式，值不为0，这个r阶行列式就是对一个矩阵你画r条横线，r条竖线，这个横竖线交叉的元素构成了一个新的数表，这个数表的行列式就叫作这个矩阵的r阶子式。

第二个角度，如果我们把矩阵进行初等行变换，将矩阵变换为一个行阶梯形矩阵后，那么行阶梯形矩阵的非0行就是这个矩阵的秩。这是通过运算的角度来给出的矩阵的秩的定义，对矩阵进行初等行变换后得到的行阶梯形矩阵的非0行的个数。

第三个角度，是从线性方程组的角度来给出的，我们可以把秩理解为一种约束，因为方程我们就可以理解为约束，当我们把矩阵看成齐次线性方程组的系数的时候，矩阵的秩就是这个方程组里真正存在的方程的个数。

虽然写出了很多个方程，但有一些是没有用的，可以由其他方程来表示的，这些没用的消去之后剩下的真正的约束的个数就是这个矩阵的秩。

第四个角度，将矩阵看成由一个个向量放在一起拼成的，这个秩就是向量组中独立的向量的个数，其实和上述方程组的角度是差不多的。

扩展资料

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

矩阵的秩是什么意思?

矩阵的秩

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，

如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

拓展资料;

变化规律

(1) 转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)