0为什么变成自然数,零为什么被称为自然数

作者 | 李开周

来源 | 节选自《武侠数学》的序言，李开周著，化学工业出版社。

就人类整体而言，思想是不断进步的，后人的认识通常会超越前人，我们对零的认识也是如此。20 世纪 70 年代或 80 年代开始读书的朋友必定都记得，当时的数学课讲自然数，都从 1 开始，1 是最小的自然数。现在的孩子上小学，数学老师却会告诉他们，最小的自然数是0。短短几十年，从“零不是自然数”到“零是最小的自然数”，人们的认识又有了一个飞跃。

零是数字，零是整数，我们受过基础教育，觉得这些认识都很自然。零居然是自然数，这个认识就显得不那么自然。我们平常数数，数某种事物有多少，不都是从1 开始吗？没见过从0 开始数的。如果哪位指着一堆苹果开始数：“0、1、2、3、4……”大概会有人觉得他不正常。

1889 年，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano，1858 年—1932 年） 提出五条公理，可用文字描述如下：

公理 1：1 是自然数；

公理 2：每个确定的自然数 a，后面都有一个确定的相邻数 a′，a′也是自然数；

公理 3：1 不是任何自然数后面的相邻数；

公理 4：不同自然数拥有不同的相邻数；

公理 5：任意关于自然数的命题，如果能证明该命题对 1 为真，并且它对自然数 a 为真时可证明它对 a′也为真，那么这个命题就对所有自然数为真。

这五条公理称为“皮亚诺公理”，其中第一条、第三条和第五条公理，都不假思索地认定 1 是最小的自然数。将皮亚诺公理运用于当时的数学体系，严丝合缝，堪称数学大厦的一块基石。

皮亚诺为数学大厦提供基石的同时，别的数学家也在为数学大厦添砖加瓦。19 世纪末，就在皮亚诺提出五条公理不久以后，数学的一大分支“群论”发展到关键时期，一些数学家用群论这把利器重新解剖整数和自然数，发现了一个非常危险的破绽：如果不把零放进自然数群，整数群就会变得不完整。所以，为了能让数学体系互不矛盾、自成逻辑，为了保证整个数学大厦固若金汤、坚不可摧， 这些数学家就让零加入自然数家族，成为最小的自然数。

进入 20 世纪，有的数学教材把零当成自然数，有的数学教材坚持零不是自然数，时间越往后，认可零是自然数的教材就越多。在欧美数学界，主流意见都认为零是自然数。所以在 1993 年，中国国家技术监督局修订“量和单位”的国家标准，规定零是自然数。于是乎，我们的数学教材随之修改。于是乎，00 后新生代在零的认识上与国际接轨，70 后与 80 后家长被甩在后面。于是乎，爸爸妈妈们辅导小朋友数学作业时，会有这样的对话：

“宝贝，最小的自然数是 1，你这道题写错了。”

“没有错，老师今天刚讲过，零也是自然数！”

家长不信，一查教材，果然！大惑不解：“咦，是不是印错了？”而看过本书的爸爸妈妈就不会有这样的困惑。

在本章最后，让我们再温习几点关于零的知识。

最小的自然数是0 不是1；

最小的个位数是1 不是0；

0 不是正数，也不是负数，它是唯一的中性数；

0 是偶数；

0 不是质数，也不是合数；

任何数加减0，值不变；

任何数与0 相乘，积为0；

任何不是0 的数的0 次方都是1；

0 不能作除数，任何数除以0，都没有数学意义；

0 是十进制位值数中唯一的占位符，表示该数位为空；

0 可以表示起点，例如直尺的起点刻度线都是0；

0 可以用于编号，例如001、002……

0 可以表示界限，例如0 度以上、0 度以下……

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作者：李开周

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0为什么是自然数？

0是不是自然数一直是一个很有争议的话题，世界各国定义不同。前苏联数学教材里认为0是整数，而非自然数，自然数即正整数，而欧美教材则把0归为自然数，自然数即非负整数。新中国成立之后，我国的教材受前苏联的影响，一直把0归为整数，而非自然数，认为最小的自然数是1。随着改革开放，很多西方国家的观点渗入进来，于是为了和国际接轨，从1993年起《中华人民共和国国家标准》就把0归到了自然数的范畴，最小的自然数由1变成了0，我们使用的中小学教材也陆续做了更改。然而几十年过去了，与0相关的一些问题，如，0是不是合数，最小的一位数是不是0等，教师们仍然很困惑！而笔者认为把0归不归为自然数都有道理，说0不是自然数，因为0不是序数，数物体时它没有办法与一定数量的物体建立起对应的关系；说它是自然数，因为它有基数的含义，一个物体也没有就用0来表示。所以0是不是自然数只是一个规定而已，只是一个它所属类别的问题，并不影响0本身的意义和它的本质属性。

“0”为什么也是自然数？

因为我国现行九年义务教育教科书和高级中学教科书（试验修订本）都把非负整数集叫做自然数集，记作N。这就明确指出0也是自然数集的一个元素。

从教学实践层面来说，将“0”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。

在国际上，对于“0”，它是否包括在自然数之内仍然一直存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。

以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。

“0”加入传统的自然数集合，所有的“运算规则”依旧保持，如新自然数集合{0,1,2,…,n,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。

扩展资料

0是极为重要的数字，0的发现被称为人类伟大的发现之一。0在我国古代叫做金元数字，（意即极为珍贵的数字）。

0这个数据说是由印度人在约公元5世纪时发明，在1202年时，一个商人写了一本算盘之书，在东方中由于数学是以运算为主（西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字……”。

由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑， 因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立（如除以0），甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。直至约公元15，16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同，才使西方数学有快速发展。