功率谱密度与功率,什么是功率频谱密度

来源：不忘初心的模拟小牛牛公众号

作者：131v1vv

在之前所发的 深入浅出聊抖动（Jitter）一文中我们着重学习了Jitter的时域相关内容，也遇到了很多各种各样的专业术语，有很多人被绕晕了。所以这里有必要再回顾一下频域相关的概念，算是一些补充知识吧。这期就围绕功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）的概念展开。

先简单回忆一下图1中的任意实信号x(t)，及其扩展函数，绝对值|x(t)|和平方x^2(t)。如果是个电压或电流信号，我们可以得到能量Energy和功率Power的相关定义。如任意时间段的总能量，瞬时功率，平均功率等。

图1

而x(t)存在傅里叶变换的充分条件为，x(t)满足绝对积分（absolute integratable）且有有限个间断点。在频域存在着等效的表达式X(jω)。同时包含着幅度谱和相位谱。即存在傅里叶变换对，满足时域和频域的相互转换，且二者是等价的。

在存在傅里叶变换的条件下，根据帕萨瓦尔（Parseval）定理，我们知道同样有着能量守恒的关系，如图2所示。其中傅里叶变换|X(jω)|^2可以称之为信号x(t)的能量谱密度（Energy Spectrum Density，ESD）。利用极限的概念，有信号x(t)的功率谱密度Sx(f)的定义。

图2

在物理实际中，我们碰到的很多噪声信号可近似为宽平稳随机过程（wide-sense stationary process）。有信号自相关函数的定义如图3所示。

图3

维纳-辛钦定理（wiener khinchin theorem）揭示了自相关函数和信号的功率谱密度的关系，如图4所示。信号x(t)的自相关函数和功率谱密度函数互为傅里叶变换对。并且当τ=0时，功率谱密度Sx(f)的频域积分为Rx(0)，可以看做x(t)的平均功率如图3所示。当然还有更特殊的case，如果信号x(t)均值为零，那么Rx(0)还可以看做x(t)的方差（variance），这是一个比较特殊的结论。

图4

图3也算是功率谱密度的另一种计算方法，就是利用自相关函数进行傅里叶变换。

这里需要说明的就是上述几个概念之间的关系。这里简单总结了个表格如图5所示。

图5

对于功率谱密度，我们最熟悉的莫过于噪声的PSD。例如热噪声，闪烁（1/f）噪声，散粒（shot）噪声。不同的噪声类型的PSD不一样。在电路中我们经常考虑在1单位电阻上的功率谱密度，所以在表示噪声的功率谱密度是经常使用V^2/Hz的单位。其实比较符合PSD定义的单位还是W/Hz。也有转化为对数坐标的dBm/Hz等。

当然扩展一下，在电学以外，比如振动力学中研究随机振动，会有位移PSD，速度PSD，加速度PSD，单位分别表示为m^2/Hz,(m/s)^2/Hz，(m/s^2)^2/Hz或者g^2/Hz。看来能够研究的随机变量或信号都可以有PSD的概念。想想也是，其实就是把一些随机过程转化到频域通过PSD研究其确定性性质。

所以在你碰到像表示相位的功率谱密度时用到的rad^2/Hz单位时，也就不会觉得别扭了。图6中表格把一些经常用到的单位列了出来。比如dBm的单位，在射频中大多是50欧姆的阻抗匹配的条件，对应0dBm就是约为223mV的电压幅度。

图6

实信号的PSD分布通常关于频率0左右偶对称。这样的正负频率范围的功率谱密度称之为“双边”（Two-Side）PSD。当然我们也可以仅用正频率范围表示，这时候称之为“单边”（One-Side）PSD。如图7所示。

图7

如果“单边”PSD关于某频率f0左右对称，如果把该频率平移至频率0Hz处，这种功率谱我们称之为“单边带”（Single sideband）PSD。对于SSB PSD，我们可以进一步简化为仅用正频率表示。这时候称之为“双边带”（Double Sideband） PSD。

注意功率谱幅度的变化，将“双边”转化为“单边”时，功率谱密度需要加倍，也就是增加3dB。而从“单边”转化为“单边带”时，仅仅是载波频率的平移，幅度功率谱幅度并不改变。而从“单边带”转化为“双边带”时，功率谱密度也需要增加3dB。

前边叙述的幅度功率谱密度引申到相位噪声上，同样有相位功率谱密度的概念，也就是单位为rad^2/Hz。那么相位功率谱密度Sφ(fφ)(fφ=f-fc，相位PSD可简写为Sφ(f))与幅度功率谱密度Sx(f)是什么关系那？

在比较小的相位抖动（small phase fluctuation，|φe(t)|

图8

对于包含n次谐波成分的相位噪声功率谱和对应的n次谐波的频谱的关系如图9所示。

图9

好了，这期内容就这么多了，关于功率谱密度的内容，很多定义都容易把人绕晕，以上的内容可能我的理解也不是太全面。还是希望大家能够多对比，去伪存真，能够正确的理解和掌握才是关键。